泰勒公式常用展开式

泰勒公式是一种用函数在某一点的各阶导数值构建多项式来近似表达该函数的方法。以下是几个常用函数的泰勒展开式：

1. 指数函数 \\（ e^x \\）

\\[ e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\ldots + \\frac{x^n}{n!} + \\ldots \\]

2. 对数函数 \\（ \\ln（1+x） \\）

\\[ \\ln（1+x） = x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} - \\ldots + （-1）^{k-1} \\frac{x^k}{k} + \\ldots \\quad （|x| < 1） \\]

3. 正弦函数 \\（ \\sin x \\）

\\[ \\sin x = x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - \\ldots + （-1）^{k-1} \\frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \\ldots \\quad （x \\in \\mathbb{R}） \\]

4. 余弦函数 \\（ \\cos x \\）

\\[ \\cos x = 1 - \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^4}{4!} - \\ldots + （-1）^k \\frac{x^{2k}}{（2k）!} + \\ldots \\quad （x \\in \\mathbb{R}） \\]

5. 正切函数 \\（ \\tan x \\）

\\[ \\tan x = x + \\frac{x^3}{3} + \\ldots \\]

6. 反正切函数 \\（ \\arctan x \\）

\\[ \\arctan x = x - \\frac{x^3}{3} + \\ldots \\]

7. 自然对数底 \\（ e \\） 的 \\（ x \\） 次幂

\\[ （1+x）^{\\alpha} = 1 + \\alpha x + \\frac{\\alpha（\\alpha-1）}{2}x^2 + o（x^2） \\quad （x \\rightarrow 0） \\]

8. 平方根函数 \\（ \\sqrt{1+x} \\） 当 \\（ \\alpha = \\frac{1}{2} \\）

\\[ \\sqrt{1+x} = 1 + \\frac{1}{2}x - \\frac{1}{8}x^2 + o（x^2） \\quad （x \\rightarrow 0） \\]

以上展开式中，\\（ o（x^n） \\） 表示 \\（ x \\） 的高阶无穷小，即当 \\（ x \\rightarrow 0 \\） 时，\\（ o（x^n） \\） 相对于 \\（ x^n \\） 可以忽略不计。

这些展开式在微积分、数学分析、物理学等地方有着广泛的应用。需要注意的是，泰勒公式只适用于在某点具有足够多阶导数的函数。

其他小伙伴的相似问题：

泰勒公式在物理学中的应用有哪些？

如何记忆泰勒公式的常用展开式？

泰勒公式在金融领域的应用？