为什么圆的切线与半径垂直

圆的切线与半径垂直的性质可以通过几何和代数方法来证明。以下是证明过程：

1. 圆的参数方程 ：

设圆心为原点 \\（O\\），半径为 \\（r\\），切点为 \\（P\\），则 \\（P\\） 的坐标可以表示为 \\（P（r\\cos a, r\\sin a）\\），其中 \\（a\\） 是从 \\（x\\） 轴正方向逆时针旋转到切线所在位置的角度。

2. 切线方程 ：

过切点 \\（P\\） 且到圆心 \\（O\\） 距离为 \\（r\\） 的直线方程可以表示为 \\（x\\cos a + y\\sin a = r\\）。

3. 斜率计算 ：

切线的斜率 \\（k\\） 可以通过切线方程计算得到，即 \\（k = -\\frac{\\cos a}{\\sin a} = -\\cot a\\）。

4. 半径的斜率 ：

半径 \\（OP\\） 的斜率 \\（k_r\\） 为 \\（\\frac{\\sin a}{\\cos a} = \\tan a\\）。

5. 斜率关系 ：

由于切线与半径垂直，它们的斜率乘积为 \\（-1\\），即 \\（k \\cdot k_r = -1\\）。

6. 反证法证明 ：

假设切线与半径不垂直，则它们的斜率乘积不为 \\（-1\\），这与上述关系矛盾。因此，切线必须与半径垂直。

7. 几何直观 ：

从几何的角度看，切线与半径垂直是因为切线与圆只有一个交点，即切点，而半径通过这个切点，所以切线与半径垂直。

综上所述，圆的切线与半径垂直是因为它们的斜率乘积为 \\（-1\\），这一性质可以通过代数方法证明，并且从几何角度也可以直观理解

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